如图,已知两个菱形是以坐标原点为位似中心的位似图形(菱形与菱形的位似比为),,对角线均在坐标轴上,抛物线经过的中点.
填空:点坐标为_________,点坐标为_________;
操作:如图,固定菱形,将菱形点顺时针方向旋转度角,并延长,延长.
探究:在旋转的过程中是否存在某一角度,使得四边形是平行四边形?若存在,请推断出的值;若不存在,说明理由;
探究:设,四边形的面积为,求之间的函数关系式,并指出的取值范围.

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已知抛物线经过的中点,设的坐标为,由于,易知,因此,解得,(舍去).因此点的坐标为.也就能得出点的坐标为,点的坐标为.
探究:如果四边形是平行四边形,那么首要满足的条件是,由于,因此必为,此时中,,因此是等边三角形,此时,因此,即为直角三角形斜边上的中点,由题意可知:此时,重合,那么,已知两菱形的位似比为,因此,也就是,由此可得出当时,,即四边形是平行四边形.
探究:四边形不是规则的四边形,因此可将其面积分成两部分进行计算,这两个三角形中都以为底,关键是求出两三角形的高,过轴于,过轴于,那么就是两三角形的高.先求的长,在直角三角形中,用的长和的度数求出,进而根据的长可求出.求的长,可通过相似三角形来求出,据此可根据四边形的面积计算方法得出,的函数关系式.

由题意得
,.
探究:当时,四边形是平行四边形.
理由如下:
两菱形的位似比为,,,菱形边长为,
菱形的边长,
在旋转过程中的长和的大小始终不变
当射线旋转到经过点时,重合,
为等边三角形,
那么,,则

当旋转角度时,平行且等于
时,四边形为平行四边形.
探究:过点作轴于,过轴于,设,
则:,
,

它绕对称中心旋转时


,
化简得:

.
的函数关系式为:.


本题考查了菱形的性质,直角三角形的性质,图形的旋转变换,图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点.综合性强.









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    5
  • 主题型:填空题
  • 副题型1:推断题
  • 副题型2:作图题
  • 副题型3:实验题
  • 副题型4:证明题