如图,在等腰梯形中,,的中点,过点于点.,,度.
求点的距离;
为线段上的一个动点,过于点,过交折线于点,连接,设.
当点在线段上时(如图),的形状是否发生改变?若不变,求出的周长;若改变,请说明理由;
当点在线段上时(如图),是否存在点,使为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的的值;若不存在,请说明理由.


5
难度:
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可通过构建直角三角形然后运用勾股定理求解.
的形状不会变化,可通过做,不难得出,这样就能在三角形中求出的值,也就求出了的值,如果做,是三角形的公共边,在直角三角形中,有的值,的度数也不难求出,那么就能求出的值,也就求出的值了,有了,,的值,就能求出三角形的周长了.
本题分两种情况进行讨论:
,段时,.这种情况同的计算方法.
,段时,又分两种情况进行讨论
时,,这样有了的值,也就能求出来了
时,我们不难得出,又因为因此度.这样点就重合了,即这是个直角三角形,然后根据三角函数求出的值,然后就能求出了.
综合上面的分析把是等腰三角形的情况找出来就行了.

如图,过点于点.
的中点,

中,,度.
,
即点的距离为
当点在线段上运动时,的形状不发生改变.
,,
.
,
,
同理.
如图,过点,
,
,度.



中,
的周长
当点在线段上运动时,的形状发生改变,但恒为等边三角形.
时,如图,作,则.
类似,
.
是等边三角形,
.
此时,.

时,
,
,
,
是等边三角形,
(如图),
此时,
时,如图,度.
,又,
度.
因此点重合,为直角三角形.
.
此时,.
综上所述,当时,为等腰三角形.



本题综合考查了等腰梯形,等腰直角三角形的性质,中位线定理,勾股定理等知识点的应用.


考试出处:
2009年江西省中考数学试卷第三大题,第9小题
2013年广东省广州六中中考数学一模试卷第三大题,第8小题
第20章《四边形》常考题集(35):20.5 梯形第一大题,第2小题
2009年全国中考数学试题汇编《四边形》(10)第一大题,第15小题
第6章《特殊平行四边形与梯形》中考题集(31):6.4 梯形第一大题,第20小题
2012年湖北省咸宁市中考数学模拟试卷(十三)第三大题,第8小题
2009-2010学年重庆市万州区九年级(上)期末数学试卷第三大题,第10小题
第24章《图形的相似》常考题集(22):24.4 中位线第一大题,第10小题
第22章《四边形》常考题集(29):22.7 梯形第一大题,第29小题
第9章《四边形性质探索》中考题集(43):9.5 梯形第一大题,第12小题
2011-2012学年江苏省无锡市江阴市南菁中学八年级(上)数学作业卷(5月份)第三大题,第9小题
第6章《特殊平行四边形与梯形》常考题集(21):6.4 梯形第一大题,第3小题
第16章《四边形》常考题集(33):16.8 等腰梯形与直角梯形第一大题,第12小题
第20章《四边形》中考题集(50):20.5 梯形第一大题,第16小题
2009-2010学年辽宁省本溪市九年级(上)第三次月考数学试卷第八大题,第1小题
2009-2010学年重庆市南岸区九年级(上)期末数学试卷(2)第三大题,第10小题
2010年浙江省温州市永嘉县中考数学一模试卷第三大题,第8小题
第9章《四边形性质探索》常考题集(28):9.5 梯形第一大题,第30小题
2013年北京市密云县中考数学一模试卷第五大题,第2小题
第22章《四边形》中考题集(43):22.7 梯形第一大题,第14小题
2010年模拟试卷第三大题,第8小题
2012-2013学年浙江省金华市义乌市八年级(下)期末数学试卷第三大题,第7小题
2013-2014学年北京市东城区聚能学校八年级(下)期中数学模拟试卷第三大题,第7小题
2012-2013学年江苏省苏州市常熟实验中学八年级(上)寒假数学作业第一大题,第2小题
2009年全国中考数学试题汇编《三角形》(14)第一大题,第24小题
第19章《四边形》中考题集(40):19.3 梯形第一大题,第16小题
2011年湖北省荆州市江陵县三湖中学九年级(下)第一次月考数学试卷第三大题,第9小题
第16章《四边形》中考题集(47):16.8 等腰梯形与直角梯形第一大题,第26小题
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  • 副题型1:证明题
  • 副题型2:作图题