已知:如图,等边三角形的边长为,点,分别在边,上,且.若点从点开始以每秒个单位长的速度沿射线方向运动,设点运动的时间为秒.当时,直线与过点且平行于的直线相交于点,的延长线与的延长线相交于点,相交于点.
的面积为,写出的函数关系式;
为何值时,;
请你证明的面积为定值;
为何值时,点和点是线段的三等分点.


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三角形中,底边的长可通过相似三角形求出,而边上的高可用来表示,由此可得出,的函数关系式;
时,连接,由已知推出三角形是等边三角形,可得,即,根据等角对等边可得出,在中已经求出了的表达式,根据得出的等量关系即可求出的值;
本题只需证是定值即可;
本题要分两种情况:
点左侧时,如果,的三点分点,那么必为的中点,因此,由此可求出的值;
当点点右侧时,同可知:,由此可求出的值.

如图,

,




过点,垂足为






;
如图,连接,由可知,为等边三角形.

,





即当时,;




,

的高相等

不论为何值,的面积均为;


当点在线段上时,若点和点是线段的三等分点,则




时,点和点是线段的三等分点;
如右图,当点的延长线上时,若点和点是线段的三等分点,则





时,点和点是线段的三等分点.



主要考查了等边三角形的性质,平行线的性质等知识点的综合运用.









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  • 副题型:证明题